Dissertation/Thesis Abstract

Computing Canonical Heights on Jacobians
by Müller, Jan Steffen, Dr.Nat., Universitaet Bayreuth (Germany), 2010, 249; 27600523
Abstract (Summary)

Die kanonische Höhe ist ein unentbehrliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Arithmetik abelscher Varietäten. In dieser Dissertation untersuchen wir Methoden zur expliziten Berechnung der kanonischen Höhe auf Jacobischen Varietäten glatter projektiver Kurven. Ausgehend von einem vorhanden Algorithmus von Flynn, Smart und Stoll verallgemeinern wir effiziente Berechnungsmethoden für kanonische Höhen auf elliptischen Kurven auf den Fall Jacobischer Flächen. Hierbei verwenden wir hauptsächlich die explizite Theorie der Kummerschen Fläche, die der Jacobischen zugeordnet ist und die wir, ausgehend von Arbeiten von Flynn, in voller Allgemeinheit entwickeln, sowie detaillierte Untersuchungen der lokalen Néron-Modelle der Jacobischen. Als ersten Schritt zu einer weiteren Verallgemeinerung auf Jacobische Dreifaltigkeiten hyperelliptischer Kurven beschreiben wir die zugeordnete Kummersche Dreifaltigkeit und vermuten verschiedene Formeln, welche die explizite Arithmetik auf ihnen beschreiben. Hierbei stützen wir uns auf experimentielle Daten. Unter Annahme der Richtigkeit dieser Vermutung können wir viele der Resultate für Jacobische Flächen auf diesen Fall verallgemeinern. Schließlich verwenden wir einen Satz von Faltings, Gross und Hriljac, der die kanonische Höhe auf einer Jacobischen durch arithmetische Schnitttheorie auf der Kurve ausdrückt, um einen Algorithmus zu entwickeln, der prinzipiell auf jede Jacobische anwendbar ist. Allerdings benutzt dieser verschiedene externe Algorithmen, die teilweise nur im hyperelliptischen Fall implementiert sind, obwohl die Theorie im Allgemeinen verfügbar ist. Die möglichen Anwendungen der Berechnung kanonischer Höhen beinhalten die Bestimmung eines Erzeugendensystems der Mordell-Weil Gruppe der Jacobischen sowie die Berechnung ihres Regulators, der z.B. in der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer vorkommt. Wir erläutern unseren Algorithmus anhand zweier Beispiele. Einerseits berechnen wir den Regulator einer Untergruppe der Mordell-Weil Gruppe einer hyperelliptischen Kurve vom Geschlecht 3 von endlichem Index, andererseits berechnen wir den nicht-archimedischen Anteil des Regulator im Fall einer nicht hyperelliptischen Kurve vom Geschlecht 4. Die verbleibenden archimedischen Anteile können berechnet werden, sobald die oben erwähnten externen Implementationen vorliegen.

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Advisor:
Commitee:
School: Universitaet Bayreuth (Germany)
School Location: Germany
Source: DAI-C 81/4(E), Dissertation Abstracts International
Source Type: DISSERTATION
Subjects: Mathematics
Keywords: Smooth projective curves
Publication Number: 27600523
ISBN: 9781687908964
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