Dissertation/Thesis Abstract

The Arithmetic Volume of Ā2
by Jung, Barbara, Ph.D., Humboldt Universitaet zu Berlin (Germany), 2019, 110; 13913889
Abstract (Summary)

Es sei Ā2 der toroidal kompaktifizierte Modulraum prinzipal polarisierter komplexer abelscher Flächen, und Mk(Γ2) das Geradenbündel Siegel'scher Modulformen von Gewicht k auf Ā2, versehen mit der Petersson-Metrik. Betrachtet man Ā2 als komplexe Faser einer arithmetischen Varietät über Spec(Z), und Mk(Γ2) als das von einem Geradenbündel auf dieser arithmetischen Varietät induzierte Geradenbündel, so kann man die Frage nach dem arithmetischen Grad dieses Geradenbündels stellen. Wir stellen nachfolgend den Grad als Ausdruck in speziellen Werten der logarithmischen Ableitung der Riemann'schen Zeta-Funktion dar.

Der arithmetische Grad setzt sich aus einem Beitrag vom Schnitt über den endlichen Fasern und einem Integral von Green'schen Formen über die komplexe Faser zusammen. Die Berechnung des von der komplexen Faser Ā2 induzierten Anteils am arithmetischen Grad erfolgt durch eine spezifische Wahl von Schnitten von Mk(Γ2), deren Eigenschaften bekannt oder durch ihre Darstellung als Polynome in Theta-Funktionen ableitbar sind. Mittels eines induktiven Arguments werden wir das Integral über das Stern-Produkt der zugehörigen Green'schen Formen auf eine Summe von Integralen über spezielle Zykel zurückführen, die beim sukzessiven Schneiden der zu den Schnitten gehörigen Divisoren auftauchen. Bei diesem Prozess entstehen Randterme in Form von Integralen um den toroidalen Rand. Wir werden zeigen, dass diese verschwinden, indem wir Minkowski-Theorie anwenden und eine bestimmte Wahl der Teilung der Eins treffen, die in der arithmetischen Schnitttheorie für logarithmisch singuläre Metriken auftaucht. Die Integrale über die speziellen Zykel berechnen wir durch Zurückführen auf ein Resultat von Kudla sowie auf eine modulare Version der Jensen-Formel.

Indexing (document details)
Advisor: Kramer , Jürg , Kühn , Ulfhart , Bruinier , Jan Hendrik
Commitee:
School: Humboldt Universitaet zu Berlin (Germany)
School Location: Germany
Source: DAI-C 81/1(E), Dissertation Abstracts International
Source Type: DISSERTATION
Subjects: Mathematics
Keywords: Arithmetic volume, Ā2
Publication Number: 13913889
ISBN: 9781392441855
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