Dissertation/Thesis Abstract

Irreducible Components of the Space of Curves with Split Metacyclic Symmetry
by Weigl, Sascha Christian Carl, Dr.Nat., Universitaet Bayreuth (Germany), 2016, 87; 10735661
Abstract (Summary)

Sei Mg der Modulraum der Kurven vom Geschlecht g ≥ 2. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Untervarietät Mg(G) \subset Mg aller Kurven, die eine effektive Gruppenwirkung einer gegebenen endlichen Gruppe G besitzen. Wir wollen ihre irreduziblen Komponenten bestimmen. Dabei können wir Mg(G) auffassen als Vereinigung von irreduziblen Untervarietäten Mg,ρ(G), in denen für alle Kurven C ∈ Mg,ρ(G) die induzierte Überlagerung C → C/G=:C' einen bestmmten topologischen Typ ρ hat, d.h. es sind dort die Anzahl d der Verzweigungspunkte, die Gesamtheit der Verzweigungsordnungen m1,...,md und das Geschlecht g' der Basiskurve fixiert. Das Ziel ist diese Orte durch eine feinere numerische Invariante zu unterscheiden und zu untersuchen wann Enthaltungen auftreten. Wir behandeln beide Fragen für spezielle endliche Gruppen.

Formal betrachten wir geeignete Äquivalenzklassen von injektiven Gruppenhomomorphismen ρ: G → Mapg in die Abbildungsklassengruppe. Diese operiert auf dem Teichmüller Raum Tg, so dass Mg = Tg/Mapg. Wir definieren Mg,ρ(G) als das Bild des Fixlokus Fix(ρ(G))\subset Tg unter der kanonischen Projektion. Eine solche Äquivalenzklasse von Abbildungen ρ nennen wir topologischen Typ. Nach einem Resultat von Fabrizio Catanese sind die Orte Mg,ρ(G) irreduzible, (Zariski-) abgeschlossene Teilmengen von Mg. Die Untervarietäten Mg,ρ(G) bestimmen die folgende feinere Invariante, gegeben durch die Monodromie des unverzweigten Teils der induzierten G-Überlagerungen: Für jede nicht triviale Konjugationsklasse K von G betrachten wir die Anzahl der Monodromieelemente, welche in K liegen, modulo der Operation der Automorphismengruppe von G auf der Menge der Konjugationsklassen von G. Dieses Datum nennen wir den numerischen Typ ν der Überlagerung. Wir setzen Mg,ν(G):=⋃[ρ]Mg,ρ(G)|ν(ρ)=ν|. Die erste Frage mit der wir uns beschäftigen ist ob Mg,ν(G) irreduzibel ist, das heißt ob jeder numerische Typ einen topologischen Typ bestimmt.

In Teil I der Arbeit führen wir in diese Theorie ein und präsentieren einige gruppentheoretische Resultate.

In Teil II beweisen wir das Hauptresultat der Arbeit:

Theorem. Sei G das semidirekte Produkt zweier zyklischer Gruppen von Primzahlordnung. Dann sind die Varietäten Mg,ν(G) irreduzibel.

Dieses Resultat ist eine Weiterführung der Untersuchungen von Catanese, Lönne und Perroni. Die Autoren haben dasselbe Resultat für Diedergruppen G=Dn bewiesen, im Falle dass das Geschlecht der Basiskurve g'=0 ist und gezeigt, dass die Aussage für höheres Geschlecht nicht gilt.

Ein topologischer Typ bestimmt im Allgemeinen keine (maximale) irreduzible Komponente von Mg(G), da für verschiedene topologische Typen die entsprechenden Orte ineinander enthalten sein können.

In Teil III der Arbeit, eine gemeinsame Arbeit mit Binru Li, beantworten wir die folgende Frage: Sei G=Dn die Diedergruppe der Ordnung 2n. Für welche Paare ρ,ρ' von topologischen Typen gilt dann Mg,ρ(Dn)⊂ Mg,ρ'(Dn)? Dies vervollständigt die Klassifikation der irreduziblen Komponenten von Mg(Dn) von Catanese, Lönne und Perroni.

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Advisor:
Commitee:
School: Universitaet Bayreuth (Germany)
School Location: Germany
Source: DAI-C 81/1(E), Dissertation Abstracts International
Source Type: DISSERTATION
Subjects: Mathematics
Keywords: Moduli spaces
Publication Number: 10735661
ISBN: 9781088340912
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